zahlensysteme



Römische Zahlen:

I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 500 1000

Grundzahlen

Die Grundzahlen waren wie das Wort bereits andeutet vom Beginn des Römischen Zahlensystems an vorhanden. Mit ihnen lassen sich bereits alle natürlichen Zahlen darstellen.

I X C M
1 10 100 1000

Zusatzzahlen

Die Zusatz- oder Hilfszahlen des Römischen Zahlensystems kamen erst später hinzu um das darstellen der Zahlen zu vereinfachen.

V L D
5 50 500

Darstellung

Wie werden Zahlen nun in diesem System dargestellt?

Regeln:

  • Begonnen wird links mit der grössten Zahl.
  • Die Ziffern I, X, C dürfen max. 3 mal nacheinanderstehen
  • Die Ziffern V, L, D nur jeweils einmal
  • Stehen gleiche Zahlen nebeneinander werden diese addiert.
    • Bsp.: III==1+1+1=3
  • Stehen kleinere nach grösseren werden diese addiert
    • Bsp.: VI==5+1=6
  • Stehen kleinere vor grösseren wird subtrahiert
    • Bsp.: IX==10-1=9
Ein kurzes Beispiel:
MCMLXXXVII = 1987
1000+(1000-100)+50+10+10+10+5+1+1 = 1987
1000+900+50+30+5+2 = 1987



Ägyptische Zahlen:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 1000 10000 100000 1000000

10er-Stellenwertsystem

Wie man sieht war das Altägyptische Zahlensystem bereits ein "Zehnersystem". Zahlensymbole gab es jedoch nur für jeden weiteren Stellenwert. Wollte man Zahlen dazwischen darstellen musste man das Symbol für nächst kleinere Zahl entsprechend oft schreiben. Dies verdeutlicht die obige Tabelle. Die Zahl 3 z.B. wird dargestellt mit: 1+1+1.Die Zahl neun wird ebenfalls nach dem gleichen Prinzip dargestellt, nämlich mittels 9 mal des Symbols der 1.

Die Tabelle der Ägyptischen Zahlen müsste demnach eigentlich wie folgt aussehen:

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Darstellung:

  • Begonnen wird mit der grössten Zahl von links.
  • Alle Zahlsymbole dürfen max. 9 mal nebeneinanderstehen.
  • Zahlsymbole dürfen 3 hoch übereinander geschrieben werden.
  • Alle Zahlen werden addiert.

Ein Beispiel:

= 3219
3x1000 + 2x100 + 1x10 + 9x1 = 3219
3000 + 200 +10 + 9 = 3219



Babylonische Zahlen:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

60er Stellenwertsystem

Das Babylonische 60er Stellenwertsystem ist aus heutiger Sicht recht seltsam anzusehen. Hier wird der nächste Stellenwert nicht mit 10 sondern mit 60 ermittelt. 60/3600/216000....usw..

Im Grunde gibt es nur 2 Zahlsymbole nämlich für 1 und 10. Mit diesen werden alle Zahlen dargestellt. Die Tabelle der Ziffern müsste also wie folgt aussehen:

1 10

Bemerkung:
Was Sie sicher vermissen ist ein Symbol für Null! Nun es gab tatsächlich im alten babylonischen Zahlensystem kein Symbol das eine Null darstellte. Dies war ein grosses Problem. Ein Zeichen für Null kam zwar später hinzu wurde bis dahin aber schmerzlich vermisst. Die alten Babylonier behalfen sich damit, dass sie an Stellen an denen eine Null stehen sollte einfach einen etwas grösseren Zwischenraum beliessen als üblich. Auch Kommastellenzahlen also z.B. 0,52 konnten so, da davor ja eine Null also ein LEERRAUM war, nur im Kontext mit dem anderen Inhalt erkannt werden. Brüche wurden ebenfalls mittels Leerraum dargestellt, allerdings in den Zahlen selbst.

Darstellung:

  • Begonnen wird mit der grössten Zahl von links.
  • Das Zahlsymbol für 1 darf max. 9 mal und das für 10 max. 5 mal nebeneinanderstehen.
  • Zahlsymbole dürfen 3 hoch übereinander geschrieben werden.
  • Alle Zahlen werden addiert.

Ein Beispiel:

= 11312
3x3600 + 8x60 + (3x10 + 2x1) = 11312
10800 + 480 + (30 + 2) = 11312



Sumerische Zahlen:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60 600 3600 36000

"Gemixtes" System

Das Sumerischen Zahlensystem beinhaltet eigentlich 2 Zahlensysteme, die abwechselnt den Stellenwert bestimmen. 10 mal die 1 ergibt 10.... 6 mal die 10 ergibt 60.... 10 mal die 60 ergibt 600.... 6 mal die 600 ergibt 3600 usw.. Auch bei diesem Zahlensystem werden die "Zwischenzahlen" wie z.B. beim babylonischen Zahlensystem dargestellt durch wiederholtes schreiben des nächstkleineren Zahlensymbols. Daher müsste die Zifferntabelle wie folgt aussehen:

1 10 60 600 3600 36000

Darstellung:

  • Begonnen wird mit der grössten Zahl von ?(im Beispiel beginne ich von links).
  • Zahlsymbole dürfen max. 4 hoch übereinander geschrieben werden.
  • Alle Zahlen werden addiert.
(Bemerkung:Obwohl es seltsam klingt: 10 kleine Vierecke ergeben einen Kreis (Die erste Stelle kann also bis 9 gezählt werden) 6 kleine Kreise ergeben ein grosses Viereck(2te Stelle bis max.5) 10 grosse Vierecke ergeben ein grosses Viereck mit kleinem Kreis(3te Stelle wieder bis zu 9).....)

Ein Beispiel:

= 4693
1x3600 + 1x600 + 8x60 + 1x10 + 3x1 = 4693
3600 + 600 +480 + 10 + 3 = 4693



Maya Zahlen:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 0

20er Stellenwertsystem

Das Zahlensystem Der Mayas ist ein 20er Stellenwertsystem. Das bedeutet, das jede weitere Stelle 20 mal den Wert der vorherigen darstellt. 20....400....8000....160000...usw. Eigentlich gibt es im Maya-Zahlensystem nur 3 Zahlsymbole, mit denen man alle Zahlen darstellen kann. Hierfür wird die 1 z.B sooft geschrieben, bis man die 5 erreicht hat. dann wird die eins sooft auf die fünf gesetzt, bis man die zehn erreicht hat. Die zehn wird wiederum mittels 2x5 dargestellt usw.. Die Null wird auf Stellen gesetzt, die keinen Wert enthalten.

Daher müsste die Zifferntabelle wie folgt aussehen:

0 1 5

Darstellung:

  • Begonnen wird mit der grössten Zahl von oben.
  • Die Anordnung der Zahlen ist aus obiger Tabelle gut zu ersehen.
  • Alle Zahlen werden addiert.

Ein Beispiel:

3x8000
+
6x400
+
3x20
+
19x1
24000
+
2400
+
60
+
19
= 26479 = 26479 = 26479





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